Jinsi ya Grafu Equation Quadratic: Hatua 10 (na Picha)

2024 Mwandishi: Robert Blare | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-02-02 02:08

Wakati graphed, equations quadratic ya fomu shoka² + bx + c au (x - h)² + k toa laini-umbo la U au umbo la nyuma lenye umbo la U liitwalo parabola. Grafu ya equation ya quadratic ni suala la kupata vertex, mwelekeo, na, mara nyingi, x na y huingiliana. Katika kesi za hesabu rahisi za quadratic, inaweza pia kuwa ya kutosha kuziba anuwai ya x na kupanga curve kulingana na alama zinazosababisha. Angalia Hatua ya 1 hapa chini ili uanze.

Hatua

Hatua ya 1. Tambua aina gani ya hesabu ya quadratic unayo

Mlinganyo wa quadratic unaweza kuandikwa katika aina tatu tofauti: fomu ya kawaida, fomu ya vertex, na fomu ya quadratic. Unaweza kutumia fomu yoyote kuchora mlinganyo wa quadratic; mchakato wa kuchora kila moja ni tofauti kidogo. Ikiwa unafanya shida ya kazi ya nyumbani, kawaida utapokea shida katika moja ya aina hizi mbili - kwa maneno mengine, hautaweza kuchagua, kwa hivyo ni bora kuzielewa zote mbili. Aina mbili za equation ya quadratic ni:

• Fomu ya kawaida.

  Kwa fomu hii, equation ya quadratic imeandikwa kama: f (x) = ax² + bx + c ambapo a, b, na c ni nambari halisi na a si sawa na sifuri.

  Kwa mfano, hesabu mbili za wastani za fomu ni f (x) = x² + 2x + 1 na f (x) = 9x² + 10x -8.

• Fomu ya Vertex.

  Kwa fomu hii, equation ya quadratic imeandikwa kama: f (x) = a (x - h)² + k ambapo a, h, na k ni nambari halisi na a hailingani sifuri. Fomu ya Vertex imeitwa kwa sababu h na k inakupa moja kwa moja vertex (hatua kuu) ya parabola yako kwa uhakika (h, k).

  Viwango viwili vya fomu ya vertex ni f (x) = 9 (x - 4)² + 18 na -3 (x - 5)² + 1

• Ili kuonyesha moja ya aina hizi za equations, tunahitaji kwanza kupata vertex ya parabola, ambayo ni sehemu kuu (h, k) kwenye "ncha" ya curve. Kuratibu za vertex katika fomu ya kawaida hutolewa na: h = -b / 2a na k = f (h), wakati katika fomu ya vertex, h na k imeainishwa katika equation.

Hatua ya 2. Fafanua anuwai zako

Ili kuweza kutatua shida ya quadratic, anuwai a, b, na c (au a, h, na k) kawaida inahitaji kufafanuliwa. Shida ya wastani ya algebra itakupa equation ya quadratic na vigeuzwa vilivyojazwa, kawaida katika fomu ya kawaida, lakini wakati mwingine katika fomu ya vertex.

• Kwa mfano, kwa usawa wa fomu f (x) = 2x² + 16x + 39, tuna = 2, b = 16, na c = 39.
• Kwa usawa wa fomu ya vertex f (x) = 4 (x - 5)² + 12, tuna = 4, h = 5, na k = 12.

Hatua ya 3. Hesabu h

Katika hesabu za fomu ya vertex, thamani yako kwa h tayari imepewa, lakini kwa usawa wa fomu ya kawaida, lazima ihesabiwe. Kumbuka kwamba, kwa viwango vya kawaida vya fomu, h = -b / 2a.

• Katika mfano wetu wa kawaida (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Kutatua, tunapata kuwa h = - 4.
• Katika mfano wetu wa fomu ya vertex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tunajua h = 5 bila kufanya hesabu yoyote.

Hatua ya 4. Hesabu k

Kama ilivyo na h, k tayari inajulikana katika hesabu za fomu ya vertex. Kwa usawa wa fomu ya kawaida, kumbuka kuwa k = f (h). Kwa maneno mengine, unaweza kupata k kwa kuchukua nafasi ya kila mfano wa x katika equation yako na thamani uliyoipata tu kwa h.

• Tumeamua katika mfano wetu wa kawaida kwamba h = -4. Kupata k, tunatatua equation yetu na thamani yetu kwa h kuchukua nafasi ya x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Hatua ya 7.

• Katika mfano wetu wa fomu ya vertex, tena, tunajua thamani ya k (ambayo ni 12) bila kufanya hesabu yoyote.

Hatua ya 5. Panga vertex yako

Vertex ya parabola yako itakuwa hatua (h, k) - h inataja uratibu wa x, wakati k inataja kuratibu y. Vertex ni sehemu kuu katika parabola yako - ama chini kabisa ya "U" au juu kabisa ya kichwa "U." Kujua vertex ni sehemu muhimu ya kuchora parabola sahihi - mara nyingi, katika kazi ya shule, kubainisha vertex itakuwa sehemu inayohitajika ya swali.

• Katika mfano wetu wa kawaida, vertex yetu itakuwa saa (-4, 7). Kwa hivyo, parabola yetu itaongeza nafasi 4 upande wa kushoto wa nafasi 0 na 7 hapo juu (0, 0). Tunapaswa kupanga mpango huu kwenye grafu yetu, tukiwa na uhakika wa kuweka alama kuratibu.
• Katika mfano wetu wa fomu ya vertex, vertex yetu iko saa (5, 12). Tunapaswa kupanga nafasi 5 za kulia na nafasi 12 hapo juu (0, 0).

Hatua ya 6. Chora mhimili wa parabola (hiari)

Mhimili wa parabola wa ulinganifu ni laini inayopita katikati yake ambayo inaigawanya kikamilifu katikati. Katika mhimili huu, upande wa kushoto wa parabola utaangazia upande wa kulia. Kwa quadratics ya shoka la fomu² + bx + c au (x - h)² + k, mhimili ni mstari unaofanana na mhimili y (kwa maneno mengine, wima kabisa) na kupita kwenye vertex.

Katika kesi ya mfano wetu wa kawaida wa fomu, mhimili ni laini inayolingana na mhimili wa y na inapita kwenye nukta (-4, 7). Ingawa sio sehemu ya parabola yenyewe, kuashiria laini hii kwenye grafu yako mwishowe inaweza kukusaidia kuona jinsi parabola inavyozunguka kwa usawa

Hatua ya 7. Pata mwelekeo wa kufungua

Baada ya kubaini vertex na mhimili wa parabola, baadaye tunahitaji kujua ikiwa parabola inafungua juu au chini. Kwa bahati nzuri, hii ni rahisi. Ikiwa "a" ni chanya, parabola itafunguliwa juu, wakati ikiwa "a" ni hasi, parabola itafunguliwa chini (i.e., itageuzwa chini-chini.)

• Kwa mfano wetu wa fomu ya kawaida (f (x) = 2x² + 16x + 39), tunajua tuna parabola inayofunguka zaidi kwa sababu, katika equation yetu, a = 2 (chanya).
• Kwa mfano wetu wa fomu ya vertex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tunajua pia tuna parabola inayofungua juu kwa sababu = 4 (chanya).

Hatua ya 8. Ikiwa ni lazima, tafuta na upange x intercepts

Mara nyingi, kwenye kazi ya shule, utaulizwa kupata nambari za parabola za x (ambazo ni nukta moja au mbili ambapo parabola hukutana na mhimili wa x). Hata ikiwa hautapata, vidokezo hivi viwili vinaweza kuwa muhimu sana kwa kuchora parabola sahihi. Walakini, sio parabolas zote zilizo na X-intercepts. Ikiwa parabola yako ina vertex inafungua juu na ina vertex juu ya axis x au ikiwa inafungua chini na ina vertex chini ya x axis, haitakuwa na vidokezo vyovyote vya x. Vinginevyo, suluhisha kwa kukamata x yako na moja wapo ya njia zifuatazo:

• Weka tu f (x) = 0 na utatue equation. Njia hii inaweza kufanya kazi kwa hesabu rahisi za quadratic, haswa katika fomu ya vertex, lakini itathibitisha kuwa ngumu sana kwa zile ngumu zaidi. Angalia hapa chini kwa mfano

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 na 13 ni vielelezo vya x-parabola.

• Jadili usawa wako. Usawa fulani kwenye shoka² + bx + c fomu inaweza kuingizwa kwa urahisi katika fomu (dx + e) (fx + g), ambapo dx × fx = shoka², (dx × g + fx × e) = bx, na e × g = c. Katika kesi hii, x yako huingiliana ni maadili ya x ambayo hufanya muda wowote katika mabano = 0. Kwa mfano:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Katika kesi hii, kukataliwa kwako kwa x ni -1 kwa sababu kuweka x sawa na -1 kutafanya mojawapo ya maneno yaliyowekwa kwenye mabano kuwa sawa 0.

• Tumia fomula ya quadratic. Ikiwa huwezi kutatua kwa urahisi kwa x yako au kuingiliana na equation yako, tumia equation maalum inayoitwa fomati ya quadratic iliyoundwa kwa kusudi hili. Ikiwa haiko tayari, pata equation yako kwenye shoka la fomu² + bx + c, kisha unganisha a, b, na c kwenye fomula x = (-b +/- SqRt (b² (4ac)) / 2a. Kumbuka kuwa mara nyingi hii inakupa majibu mawili ya x, ambayo ni sawa - hii inamaanisha tu parabola yako ina viwambo viwili vya x. Angalia hapa chini kwa mfano:

  • -5x² + 1x + 10 huingizwa kwenye fomati ya quadratic kama ifuatavyo:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
  • x = (13.18 / -10) na (-15.18 / -10). Njia za x za parabola ziko karibu x = - 1.318 na 1.518
  • Mfano wetu wa zamani wa fomu, 2x² + 16x + 39 huingizwa kwenye fomati ya quadratic kama ifuatavyo:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
  • Kwa sababu kupata mzizi wa mraba wa nambari hasi haiwezekani, tunajua hilo hakuna x kukatiza zipo kwa parabola hii.

Hatua ya 9. Ikiwa ni lazima, tafuta na panga y kukatiza

Ingawa mara nyingi sio lazima kupata kukataza kwa equation (hatua ambayo parabola hupita kwenye mhimili y), mwishowe utahitajika, haswa ikiwa uko shuleni. Utaratibu huu ni rahisi sana - weka tu x = 0, kisha utatue equation yako kwa f (x) au y, ambayo inakupa thamani y ambayo parabola yako hupita kwenye mhimili y. Tofauti na vidokezo vya x, parabolas za kawaida zinaweza kuwa na moja tu kukatiza. Kumbuka - kwa viwango vya kawaida vya fomu, kukataliwa kwa y = c.

• Kwa mfano, tunajua equation yetu ya quadratic 2x² + 16x + 39 ina y kukatiza kwa y = 39, lakini pia inaweza kupatikana kama ifuatavyo:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Njia ya parabola ni saa y = 39.

    Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, kukataliwa kwa y ni c = c.

• Fomati yetu ya fomu ya vertex 4 (x - 5)² + 12 ina y kukatiza ambayo inaweza kupatikana kama ifuatavyo:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Njia ya parabola ni saa y. 112.

Hatua ya 10. Ikiwa ni lazima, panga vidokezo vya ziada, kisha grafu

Unapaswa sasa kuwa na vertex, mwelekeo, x kukatiza (s), na, pengine, kukatiza usawa wako. Kwa wakati huu, unaweza kujaribu kuchora parabola yako ukitumia alama ulizonazo kama mwongozo, au unaweza kupata alama zaidi "kujaza" parabola yako ili curve unayochora iwe sahihi zaidi. Njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kuziba tu maadili ya x kila upande wa vertex yako, kisha panga alama hizi ukitumia maadili unayopata. Mara nyingi, waalimu watahitaji upate idadi kadhaa ya alama kabla ya kuchora parabola yako.

• Wacha tuangalie tena usawa x² + 2x + 1. Tayari tunajua kukataliwa kwake kwa x ni saa x = -1. Kwa sababu inagusa tu kukatiza x kwa wakati mmoja, tunaweza kudhani kuwa vertex yake ni x kukatiza, ambayo inamaanisha kitambulisho chake ni (-1, 0). Tunayo nukta moja tu ya parabola hii - haitoshi kuteka parabola nzuri. Wacha tupate zingine chache ili kuhakikisha tunachora grafu sahihi.

  • Wacha tupate maadili y kwa maadili yafuatayo x: 0, 1, -2, na -3.
  • Kwa 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Hoja yetu ni (0, 1).

  • Kwa 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Hoja yetu ni (1, 4).

  • Kwa -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Hoja yetu ni (-2, 1).

  • Kwa -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Hoja yetu ni (-3, 4).

  • Panga alama hizi kwenye grafu na chora safu yako iliyo na umbo la U. Kumbuka kuwa parabola ni ulinganifu kabisa - wakati alama zako upande mmoja wa parabola ziko kwenye idadi nzima, unaweza kujiokoa na kazi fulani kwa kuonyesha tu nukta inayopeanwa kwenye mhimili wa ulinganifu wa parabola kupata sehemu inayolingana kwa upande mwingine ya parabola.

Video - Kwa kutumia huduma hii, habari zingine zinaweza kushirikiwa na YouTube

Vidokezo

• Kumbuka kuwa katika f (x) = shoka² + bx + c, ikiwa b au c sawa na sifuri, nambari hizo hupotea. Kwa mfano, 12x² + 0x + 6 inakuwa 12x² + 6 kwa sababu 0x ni 0.
• Nambari za kuzunguka au tumia visehemu kama mwalimu wako wa algebra anakuambia. Hii itakusaidia kuweka michoro yako ya nambari vizuri.